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18 ene. 2008

¿Acepta usted la apuesta? La Respuesta Por Saki Bigio

Hace algunos dias publiqué una pregunta capciosa en ¿Acepta usted la apuesta?

La Respuesta: Si usted acepta la apuesta debería esperar perder su patrimonio. Es decir, el valor esperado de la apuesta -oo. Por lo tanto, la respuesta debería ser rechazar la apuesta siempre, independientemente de sus gustos por los juegos de azar.

Solución: La manera de comprobar esto es sencilla una vez que se realiza un pequeño truco. Defina una variable aleatoria x(t) como el cambio en su ganancia (este es el truco) siendo t la t-ésima repetición del juego. Por ejemplo, x(1) toma el valor de 1 con probabilidad 18/37 y -1 con probabilidad 19/37. x(2) toma el valor de 1 con probabilidad 18/37, -1 con probabilidad 19/37*18/37 y -2 con probabilidad 19/37*19/37. x(3) toma el valor de 1 con probabilidad 18/37, -1 con probabilidad 18/37*19/37 *18/37, -2 con probabilidad 18/37*19/37*19/37 y -4 con probabilidad 19/37*19/37*19/37. Y así sucesivamente.

La ganancia total al final de infinitas repeticiones del juego es la suma de esas variables x(t). Tome el valor esperado de cada variable, y súmelos. Esto es igual al valor esperado del juego, que es -oo. Siempre que la probabilidad de ganar sea menor a 1/2, es decir, cuando existe al menos una casilla verde, usted deberia rechazar ese juego.

Por lo tanto, la mejor estrategia en dicho juego es no jugarlo.

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